Hexmasters Faktoider: Arkimedes princip

Arkimedes fick idén till sin princip i badet, och blev så glad att han sprang direkt hem, spritt naken

"En i en vätska nedsänkt kropp påverkas av en lyftkraft, som är lika stor som tyngden av den undanträngda vätskemängden." Detta är Arkimedes princip, som f.ö. även gäller för gaser. Ett badkar är onekligen ett passande ställe att komma på en sådan tanke i - men i den välkända berättelsen så var det en annan idé som fick Arkimedes att utföra historiens första streaking. Episoden som den återges av vår sagesman Vitruvius (som föddes över hundra år efter Arkimedes död) är förresten en hel liten deckare, värd att läsas i sin helhet. Dess ev. sanningshalt återkommer vi till.

Även om Arkimedes upptäckte många märkliga ting med sitt skarpa intellekt, så går inget upp mot det som jag nu skall berätta. När Hieron blev kung i Syrakusa [Hieron II] beslöt han att en dyrbar guldkrona skulle tillverkas och ställas i ett tempel åt gudarnas ära. Ett stycke guld lämnades ut till en guldsmed, som tillverkade en vacker krona. Vid en kontrollvägning befanns den väga lika mycket som det utlämnade guldstycket.

Men så började det ryktas att guldsmeden försnillat en del av guldet han fick att arbeta med, och ersatt det med silver. Hieron var misstänksam, men kunde inte komma på något sätt att ta reda på hur det låg till. Han bad då Arkimedes om hjälp. En dag gick denne till det offentliga badet. När han lade sig i ett badkar noterade han att vattnet rann över kanten på det bräddfulla karet. När han insåg att samma metod kunde användas för att lösa problemet med guldkronan hoppade han upp ur badkaret av glädje, och sprang genast hem, naken, utropandes med hög röst att han hade funnit vad han letat efter: ηυρηκα ηυρηκα [ för uttolkning, se nedan ]

Han tog sedan ett stycke guld och ett stycke silver, som båda vägde lika mycket som kronan. Han fyllde en vas med vatten ända upp till brädden, lade i silvret och tog vara på vattnet som rann över - det hade alltså samma volym som silverstycket. Han gjorde likadant med guldet, och fann att det trängde undan mindre mängd vatten [guld är nästan dubbelt så tungt som silver]. Han upprepade sedan försöket med kronan, och fann att mer vatten rann över kanten än när guldet sänktes ner; genom att mäta exakt hur mycket mer kunde han räkna ut hur mycket silver som blandats i. Så bevisade han guldsmedens förskingring.

Vad Arkimedes upptäckte var alltså ett sätt att mäta volymen, och därmed även densiteten, på kroppar av godtycklig form. Vare sig historien med guldkronan utspelades före eller efter upptäckandet av hans berömda princip (Henrikson spekulerar i att den ena utgjorde ett förstadium till den andra) så kom den inte till användning här. Sen är det en annan sak att man inte behöver hålla med Vitruvius, för nog var principen ännu snillrikare än volymmätandet.

Det kan noteras att Alf Henrikson i Vägen genom A blandat ihop berättelserna, och förknippar nakenloppet och heureka med principen. Henrikson korrigerar sig i såväl sin uppslagsbok som i Antikens Historier.

Vad gäller Vitruvius historia så menar Poirier Martinsson att den inte ens skulle kunna vara sann, av såväl historiska som fysikaliska orsaker. Hieron II tog makten 275 f.Kr. och utnämndes till kung 265 f.Kr.; Arkimedes var då drygt 20 år, långt ifrån ett berömt namn, och knappast den förste kungen skulle sätta på fallet. Vidare så verkar det mesta av hans "vatten-relaterade" arbete ha utförts sent i livet (som skrifterna Om flytande kroppar I och II). Men det största problemet är att den kritiska skillnaden på vattenmängd är så liten:

Även om han använt minsta möjliga kärl för att få plats med den falska kransen skulle ytan ha stigit med mindre än en millimeter, jämfört med om kransen varit äkta. Luftbubblor och ytspänning gör större skillnad.

En bättre metod som Arkimedes hade kunnat använda (åtminstone med kännedom om sin princip) är att placera kronan (som nog är en bättre översättning av corona) och ett guldstycke med samma vikt på en våg, som därmed visar jämvikt. Sänker man ner det hela i vatten tränger den något större kronan undan något mer vatten än det oblandade guldet, och förlorar därmed något mer i vikt - Poirier Martinsson (vars siffror jag litar på) anger en exempelskillnad på tio gram. Denna skillnad hade lätt kunnat mätas, och utgöra ett fullgott bevis på förskingringen.

Heureka

Utropet nämndes alltså av Vitruvius - se berättelsen ovan - men inte i samband med upptäckten av den berömda principen utan i samband med upptäckandet av en annan princip.

På Arkimedes klassiska grekiska skrevs det ηυρηκα och uttalades ung. "hevvrika". På modern grekiska skrivs det ευρηκα och uttalas ung. "evvrika". U:et är ett grekiskt ypsilon som ofta uttalas som v eller f eller något mittemellan. På engelska kan man höra det uttalas "joríka", vilket är en styggelse, åtminstone så länge man använder det som ett bevingat ord och inte talar om någon av de många orter, företag m.m. som bär namnet.

Ordet är heuriskein, finna, i första person singularis perfekt aktiv indikativ = jag har funnit det. Det är f.ö. samma ord som heuristik.

"Rubba inte mina cirklar!"

En kort och typisk beskrivning av filosofens liv och dramatiska död, direkt från Wikipedia:

Arkimedes utbildades i Alexandria som ligger i Egypten, men levde och verkade i den grekiska kolonin Syrakusa på Sicilien, där han var född. Under hans sista levnadsår var staden dock belägrad av Romarriket. Samma dag som de bröt igenom stadens försvar satt han, enligt en tradition förmedlad av Plutarchos, fullt upptagen av ett matematiskt problem, uppritat i sanden. Då en romersk soldat kom framstörtande utbrast han Noli turbare circulos meos, "Rubba inte mina cirklar!", varpå soldaten uppretad stötte ner honom.

Men bortsett från att Arkimedes kanske (men inte nödvändigtvis - läs mer här) skulle ha tilltalat de romerska soldaterna på grekiska - μη μου τους κυκλους παραττε me mou tous kyklous paratte - snarare än latin, så finns inga sista ord alls hos Plutarchos. Närmast verkar Valerius Maximus komma, i en kortfattad men dramatisk skildring skriven ungefär hundra år tidigare, eller över 200 år efter stormningen av Syrakusa:

Arkimedes var så upptagen med det han höll på med, att han inte uppgav sitt namn, men skyddade dammet [som han ritade i] med händerna och sade "jag ber dig, rör [förstör, disturbare] inte detta", och slogs ner trots segrarens order; hans blod rörde till linjerna

propter nimiam cupiditatem inuestigandi quod requirebat nomen suum indicare non potuit, sed protecto manibus puluere 'noli' inquit, 'obsecro, istum disturbare', ac perinde quasi neglegens imperii uictoris obtruncatus sanguine suo artis suae liniamenta confudit

Chris Rorres har en fin genomgång av citatets belägg. Flera skribenter tillskriver honom liknande uttalanden, men varifrån den kända formuleringen kommer verkar vara okänt.